Introduction

Ce cours de L2 a pour objectif de proposer une extension des notions d’analyse, enseignées en première année, dans le cas multivarié. Le cours est constitué d’une remise à niveau sur les principaux théorèmes, d’une introduction à la topologie de $R^n$ (et des espaces métriques), d’une partie sur la différentiation et d’une introduction à l’optimisation de problèmes non-contraints.

Le cours est constitué de 12 séances de TD de 2h30, qui donnent lieu à 4 évaluations de contrôle continu.

Documents

Supports
  • TD1-2 – Rappels de cours sur les coordonnées polaires et la topologie dans $R^n$.
  • TD3-4 – Rappels de cours sur les limites et la continuité.
  • TD5-6 – Rappels de cours sur la dérivabilité et la différentiabilité.
  • TD7 – Rappels de cours sur les dérivées secondes et l’optimisation.
Séances distanciel
  • TD5 5.10-13 – Correction manuscrite de la fin du TD5 enregistrée le 18/03/2025.
  • TD5 5.10-13 – Replay de correction de la fin du TD5 enregistrée le 18/03/2025.
  • TD6 6.1-4 – Correction Latex des exercices 1 à 4 du TD6 (corrigés le 18/03/2025 en ligne).
  • TD6 6.5-14 – Correction manuscrite de la fin du TD6 enregistrée le 25/03/2025.
  • TD6 6.5-14 – Replay de correction de la fin du TD6 enregistrée le 25/03/2025.
Corrigés et approfondissements
  • Exercices 2024 – Quelques exercices (souvent plus difficiles) de l’année dernière dont je propose un corrigé.
Contrôles continus

Compléments

Courbes de niveau d’une fonction à plusieurs variables

La notion de courbe de niveau est souvent considérée comme abstraite par les étudiants alors que, pour la plupart d’entre-eux, ils ont déjà croisé cette notion lors de l’enseignement de microéconomie. On montre donc ici que les courbes d’indifférence sont en réalité les courbes de niveau de la fonction d’utilité (on présente ici une Cobb-Douglas d’équation $U(x, y) = x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$).

Dérivabilité n’est pas différentiabilité

Le TD 5 invite à ne pas confondre différentiabilité et dérivabilité : une fonction peut admettre des dérivées partielles en un point, mais ne pas être différentiable en ce même point. Voici ici un exemple en $(0,0)$ pour $f(x, y) = (x^{11} + y^{11})^{1/11}$.

$\left.\frac{\partial f}{\partial x} \right\vert_{(0,0)} = \lim_{h\to0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h} = 1 = \lim_{h\to0} \frac{f(0, h) - f(0, 0)}{h} = \left.\frac{\partial f}{\partial y} \right\vert_{(0,0)}$

Références

Elementary Analysis, Kenneth Roth (2013, Second Edition, Springer)